РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На прилавке лежит 95 товаров разной цены, цена каждого выражается целым числом рублей. Средняя цена товаров, которые дешевле 2000 рублей, равна 1960 рублей, а средняя цена товаров, которые дороже 2000 рублей, равна 2050 рублей. Средняя цена всех 95 товаров равна 2000 рублей.

а)  Может ли товаров ценой 2000 рублей быть ровно 50?

б)  Может ли товаров ценой более 2000 рублей быть в два раза меньше, чем товаров ценой менее 2000 рублей?

в)  Какую наибольшую цену (в рублях) может иметь товар на прилавке?

Решение. Пусть на прилавке x товаров дешевле 2000 руб., y товаров дороже 2000 руб. и $95 минус x минус y$ товаров ценой ровно 2000 руб. Тогда суммарная цена «дешевых» товаров равна 1960x руб., «дорогих» 2050y руб., а всех вообще $95 умножить на 2000$ руб. Тогда

$1960x плюс 2050y плюс 2000 левая круглая скобка 95 минус x минус y правая круглая скобка = 95 умножить на 2000 равносильно$
$равносильно 1960x плюс 2050y плюс 2000 умножить на 95 минус 2000x минус 2000y = 95 умножить на 2000 равносильно 50y = 40x равносильно 5y = 4x.$

Значит, x кратно 5. Пусть $x = 5t,$ тогда $y = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби x = 4t$ и товаров ценой ровно 2000 руб. будет $95 минус x минус y = 95 минус 9t.$

а)  Уравнение $95 минус 9t = 50$ имеет корень $t = 5.$ Значит, если взять 25 товаров по 1960 руб., 20 товаров по 2050 руб. и 50 товаров по 2000 руб., то все условия будут выполнены.

б)  Нет, поскольку уравнение $2 умножить на 4t = 5t$ имеет только корень $t = 0,$ для которого получаем, что все товары стоят поровну, по 2000 руб.

в)  Ясно, что наибольшая цена будет у одного из дорогих товаров. Если другой дорогой товар стоит не 2001 руб., то уменьшим цену на него на руб. и поднимем цену на самый дорогой товар, от этого пример только улучшится. Итак, в оптимальном примере есть $4t минус 1$ товар ценой 2001 руб. и один товар ценой

$4t умножить на 2050 минус левая круглая скобка 4t минус 1 правая круглая скобка умножить на 2001 = 4t умножить на 49 плюс 2001 = 2001 плюс 196t,$

откуда видно, что самый выгодный пример будет при выборе наибольшего возможного t. Поскольку $95 минус 9t больше или равно 0,$ получаем, что $t меньше или равно 10.$ Итак, самый дорогой товар стоит не более $2001 плюс 1960 = 3961$ руб.

Пример  — один такой товар, 39 по 2001 руб., 50 по 1960 руб. и 5 по 2000 руб.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  3961.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	693994	а)  да; б)  нет; в)  3961.

Ключ