PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно три решения.
Решение. Используя тождество
получаем:
Изобразим на плоскости xOy части графиков уравнений 
и 
соответствующие 
и 
(эти части выделены на рисунке оранжевым). Графиком уравнения 
где 
является семейство парабол со старшим коэффициентом 1 и вершиной в точке 
Если парабола проходит через точку 
то 
(выделено синим), если через точку 
то 
(выделено зелёным), если через точку 
(выделено фиолетовым), то 
если через точку 
то 
(выделено красным пунктиром). Анализируя графики, получаем, что система имеет:
— при 
четыре решения;
— при 
три решения;
— при 
два решения;
— при 
три решения;
— при 
менее трёх решений.
Таким образом, условие задачи выполнено при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |