РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 691973 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $косинус в кубе 2x минус синус в кубе 2x = косинус 2x минус синус 2x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π].

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$косинус в кубе 2x минус синус в кубе 2x = косинус 2x минус синус 2x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x синус 2x плюс синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x синус 2x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 4x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x = синус 2x, синус 4x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 4x = Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус в кубе 2x минус синус в кубе 2x = косинус 2x минус синус 2x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x синус 2x плюс синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x синус 2x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 4x = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = синус 2x, синус 4x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 4x = Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус в кубе 2x минус синус в кубе 2x = косинус 2x минус синус 2x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x синус 2x плюс синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x синус 2x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус синус 2x правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 4x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x = синус 2x, синус 4x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 4x = Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней:

$0 меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи равносильно 0 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно 1 плюс 4k меньше или равно 8 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 0, k = 1. конец совокупности .$ $0 меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи равносильно 0 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно 1 плюс 4k меньше или равно 8 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = 0, k = 1. конец совокупности .$

Найденным значениям параметра соответствуют корни $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$ Для второй серии корней:

$0 меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно Пи равносильно 0 меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно k меньше или равно 4 \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 0, 1, 2, 3, 4.$

Найденным значениям параметра соответствуют корни 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и $Пи .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

691973

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $Пи .$

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	691973	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $Пи .$