PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через точку М пересечения медиан грани SBC перпендикулярно плоскости основания проходит плоскость α, делящая АВ в отношении 2 : 1, считая от вершины А.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку С.
б) Найдите расстояние от точки пересечения медиан грани ADS до плоскости α, если сторона основания пирамиды 
Решение. а) Пусть плоскость α пересекает ребро AB в точке N, а точка K — середина ребра BS. Построим сечение пирамиды плоскостью KCN (см. рис.). Пусть прямая CN пересекает диагональ основания пирамиды BD в точке H. Треугольники BNH и DCH подобны с коэффициентом подобия,
Следовательно, 
и 
где точка O — центр основания пирамиды.
Отрезок KH — средняя линия треугольника BSO, прямые KH и SO параллельны. Отсюда следует, что эти прямые также перпендикулярны, потому что отрезок SO — высота пирамиды, то есть прямая KH перпендикулярна плоскости основания ABCD. Точка M принадлежит плоскости KCN, а прямая MN не перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Таким образом, плоскости KCN и α совпадают, откуда и следует требуемое.
б) Пусть M1 — точка пересечения медиан треугольника ADS. Пусть также 
и 
—
Выберем на прямой CN точку P такую, что 
и CN
Найдем искомое расстояние:
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |