PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки М и K — середины сторон SB и DC соответственно. Через центр основания пирамиды параллельно прямым АМ и SK проведена плоскость α.
а) Докажите, что α делит ребро BC в отношении 1 : 5, считая от точки C.
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение пирамиды плоскостью α, а вершиной — точка A, если в пирамиде SABCD сторона основания 
Решение. а) Пусть точка L — середина медианы треугольника ABS, проведенной к стороне AB. Пусть также точка O — центр основания пирамиды, тогда отрезок OL — средняя линия треугольника ESK, она параллельна апофеме SK. Проведем прямую PQ параллельно прямой AM так, что точка L лежит на прямой PQ, точка P — на прямой AS, а точка Q — на прямой BS. Пусть прямая PQ пересекает продолжения ребра AB за точку A в точке G, при этом прямая GO пересекает ребро AD в точке T и ребро BC в точке N. Точки Q, P, T и N лежат в плоскости α.
Пусть точка F — точка пересечения прямых SE и AM. По теореме Фалеса для угла ESB и параллельных прямых KQ и AM получаем 
то есть 
Треугольники ABM и KBQ подобны по двум углам, поэтому:
откуда
Тогда 
По теореме Фалеса для угла BKC и параллельных прямых AD и EK находим 
то есть 
Треугольники AKT и BKN подобны по двум углам, следовательно, 
и потому:
б) Рассмотрим пирамиду QKBN. Длина ее высоты, опущенной из точки Q, относится к длине высоты SO пирамиды SABCD так же, как длина отрезка QB относится к длине ребра SB, то есть 
Найдем площадь основания этой пирамиды, а затем и ее объем:
Рассмотрим пирамиду PKAT. Длина ее высоты, опущенной из точки P, относится к длине высоты SO пирамиды SABCD так же, как длина отрезка PA относится к длине ребра SA. По теореме Фалеса для угла ASB и параллельных прямых KQ и AM получаем 
поэтому 
Найдем объем пирамиды PKAT:
Искомый объем есть разность объемов пирамид QKBN и PKAT. Получаем:
Ответ: б) 246.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |