РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 690538 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 515

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Уравнение $x в квадрате плюс px плюс q = 0$ имеет два различных натуральных корня.

а)  Найдите все p, если $q = 36.$

б)  Найдите все q, если $q плюс 2p = 37.$

в)  Найдите все корни уравнения, если $q в кубе минус p в кубе = 3887.$

Решение. а)  По теореме Виета 36 является произведением этих двух корней, что дает варианты $1 умножить на 36,$ $2 умножить на 18,$ $3 умножить на 12,$ $4 умножить на 9.$ В каждом случае p отличается знаком от суммы корней, что дает варианты −37, −20, −15, −13.

б)  Пусть корни уравнения равны x₁ и x₂, тогда получаем:

$x_1 x_2 минус 2 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка = 37,$

$x_1x_2 минус 2x_1 минус 2x_2 плюс 4 = 41,$

$левая круглая скобка x_1 минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 2 правая круглая скобка = 41.$

Поскольку 41 простое число, одна из скобок равна 1, а другая 41 (при натуральных x₁, x₂ они не могут быть равны −41). Значит, корни уравнения  — числа 3 и 43.

в)  Перепишем условие в виде $левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка p в квадрате плюс pq плюс q в квадрате правая круглая скобка = 13 в квадрате умножить на 23$ и заметим, что $q больше 0,$ $p меньше 0.$ Кроме того, поскольку

$16 в кубе = 4096 больше 3887 = q в кубе минус p в кубе больше q в кубе$

$16 в кубе = 4096 больше 3887 = q в кубе минус p в кубе больше минус p в кубе ,$

получаем, что $минус p, q меньше или равно 15.$ Тогда $q минус p меньше или равно 30.$

Если $q минус p = 13,$ то

$13 умножить на 23 = p в квадрате плюс pq плюс q в квадрате = левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка в квадрате плюс 3pq меньше левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка в квадрате = 13 в квадрате ,$

что невозможно. Значит,

$q минус p = 23,$

$13 в квадрате = p в квадрате плюс pq плюс q в квадрате = левая круглая скобка p минус q правая круглая скобка в квадрате плюс 3pq = 23 в квадрате плюс 3pq,$

откуда $3pq = 13 в квадрате минус 23 в квадрате = минус 360$ и $pq = минус 120.$

По теореме Виета, зная, что $q плюс левая круглая скобка минус p правая круглая скобка = 23$ и $q левая круглая скобка минус p правая круглая скобка = 120,$ можно угадать такие числа и других чисел не будет. Числа 8 и 15 подходят. Значит, $p = минус 8,$ $q = 15$ (что дает корни 3 и 5) или $p = минус 15,$ $q = 8$ (что не дает целых корней).

Ответ: а)  −37, −20, −15, −13; б)  3 и 43; в)  3 и 5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  −37, −20, −15, −13; б)  3 и 43; в)  3 и 5.

690538

а)  −37, −20, −15, −13; б)  3 и 43; в)  3 и 5.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 515

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	690538	а)  −37, −20, −15, −13; б)  3 и 43; в)  3 и 5.