Тип 14 № 690534 
Стереометрическая задача. Сечения пирамид
i
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD через точку M на ребре AS параллельно плоскости SBD проведена плоскость α. Сечение пирамиды плоскостью α является прямоугольным треугольником.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение SM : MA, если объем пирамиды SABCD равен 675, а объем пирамиды, отсекаемой плоскостью α от пирамиды SABCD, равен 100.
Решение. 
а) Пусть плоскость α пересекает ребро AD в точке K и ребро AB в точке N. Из условия следует, что прямая KN параллельна прямой BD, прямая KM параллельна прямой SD, а прямая MN параллельна прямой SB. Треугольники MKN и SDB подобны по двум углам, а так как 
то 
Следовательно, в треугольнике MNK вершиной прямого угла может быть только точка M, значит, 
По теореме Пифагора в треугольнике SDB получаем:
С другой стороны, из треугольника ADB находим:
то есть 
треугольник ASB — равносторонний, поэтому
б) Пусть 
В пирамиде ASBD параллельное основанию сечение MNK отсекает пирамиду AMNK, подобную данной. Из подобий треугольников получаем:
Объемы подобных многогранников относятся как куб коэффициента подобия: 
Сечение SBD делит пирамиду на две равновеликих: 
Тогда получаем:
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 690534
б) 
PDF-версии: