РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 690532 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $4 синус в квадрате x минус 2 косинус x синус 2x плюс 3 синус x минус 1 = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Выполним преобразования:

$2 косинус x синус 2x = 4 косинус в квадрате x синус x = 4 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка синус x = 4 синус x минус 4 синус в кубе x.$

Далее имеем:

$4 синус в квадрате x минус левая круглая скобка 4 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка плюс 3 синус x минус 1 = 0 равносильно 4 синус в кубе x плюс 4 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 4 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $4 синус в квадрате x минус левая круглая скобка 4 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка плюс 3 синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в кубе x плюс 4 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 равносильно 4 синус в квадрате x левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 4 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $4 синус в квадрате x минус левая круглая скобка 4 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка плюс 3 синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в кубе x плюс 4 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 4 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $4 синус в квадрате x минус левая круглая скобка 4 синус x минус 4 синус в кубе x правая круглая скобка плюс 3 синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в кубе x плюс 4 синус в квадрате x минус синус x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 4 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Длина интервала $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка$ равна $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ то есть больше 2π, но меньше 4π. Для отбора корней используем две тригонометрические окружности.

Интервал $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

Полуинтервал $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка$

Подходят числа $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

690532

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	690532	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$