PDF-версии: 
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его двумя гранями углы, равные α, а с третьей — угол, равный β.
а) Докажите, что 
б) Найдите объем параллелепипеда, если 
Решение. а) Проекциями диагонали параллелепипеда B1D на плоскости граней AA1D1D, DD1C1C и ABCD являются их собственные диагонали — отрезки DA1, DC1 и DB соответственно (см. рис.). Пусть
Прямоугольные треугольники A1B1D и C1B1D равны по гипотенузе и острому углу, следовательно,
в треугольнике DBB1 по теореме Пифагора находим 
откуда
б) Из доказанного в пункте а) следует, что
Объем параллелепипеда равен
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |