PDF-версии: 
Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 описана около шара радиуса R. Точки M и N — середины рёбер BB1 и CC1. В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём цилиндра
Решение. Заметим, что высота призмы равна диаметру шара, т. е. 2R, шар касается плоскостей оснований призмы в центрах P и P1 равносторонних треугольников ABC и A1B1C1, а плоскостей боковых граней — в точках пересечения их диагоналей (рис. 1).
Пусть K и K1 — середины BC и B1C1 соответственно. Ортогональная проекция шара на плоскость ABC есть круг радиуса R, вписанный в треугольник ABC. Поэтому AP = A1P1 = 2R, PK = P1K1 = R, AK = A1K1 = 3R.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью AKK1A1 (рис. 2). Получим прямоугольник AKK1A1 со сторонами 2R, 3R, круг радиуса R, касающийся сторон AK и A1K1 в точках P и P1, а стороны KK1 — в её середине L, причём центр круга совпадает с центром O шара. Пусть ∠LAK = α. Тогда
Опустим перпендикуляр OQ из центра круга на прямую AL. Из прямоугольного треугольника OQL находим, что
Пусть AQ пересекает окружность, ограничивающую круг, в точке E. Продолжим EO до пересечения с этой окружностью в точке F. Тогда EL — диаметр основания цилиндра, вписанного в данный шар, а LF — высота цилиндра. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника EFL находим, что
Следовательно, объём цилиндра равен
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |