PDF-версии: 
На ребре 
прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 4EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что 
AD = 16, AA1 = 20.
а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 3 : 2.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.
Решение. а) Проведём отрезок
и в плоскости грани 
проведём через точку T прямую, параллельную 
Эта прямая пересечёт ребро 
в точке 
Точка F лежит в плоскости 
и делит на две части. Треугольники 
и 
подобны. Следовательно,
Таким образом, 
Тогда 
и 
б) Четырёхугольник 
— сечение параллелепипеда плоскостью 
Поскольку стороны FT и параллельны, но не равны. Четырёхугольник — трапеция. Продолжим боковые стороны EF и 
до пересечения в точке 
Точка T — середина 
и, следовательно, T — середина 
поэтому отрезок FT — средняя линия треугольника 
Из равенства треугольников 
и 
получаем 
откуда 
то есть трапеция — равнобедренная.
Найдём стороны трапеции:
Проведём в трапеции высоту 
Имеем:
Тогда 
Ответ: б) 120.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |