РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 688785 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие радикалы

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 4 x в степени 4 плюс 3 x в квадрате левая круглая скобка 6 x плюс 5 правая круглая скобка минус a левая круглая скобка 2 x в квадрате минус a правая круглая скобка конец аргумента = 2 x в квадрате плюс 5 x минус a$

имеет ровно три различных корня.

Решение. При условии $3 x в квадрате плюс 4 x минус a больше или равно 0$ исходное уравнение равносильно следующим:

$4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 5 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 4 x в степени 4 плюс 25 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 20 x в кубе минус 4 a x в квадрате минус 10 a x равносильно$
$равносильно 2 x в кубе плюс 10 x в квадрате минус 2 a x в квадрате минус 10 a x = 0 равносильно x в кубе плюс 5 x в квадрате минус a x в квадрате минус 5 a x=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 5, x = a. конец совокупности .$ $4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 5 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 4 x в степени 4 плюс 25 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 20 x в кубе минус 4 a x в квадрате минус 10 a x равносильно$
$равносильно 2 x в кубе плюс 10 x в квадрате минус 2 a x в квадрате минус 10 a x = 0 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 5 x в квадрате минус a x в квадрате минус 5 a x=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 5, x = a. конец совокупности .$ $4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 5 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 4 x в степени 4 плюс 25 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 20 x в кубе минус 4 a x в квадрате минус 10 a x равносильно$
$равносильно 2 x в кубе плюс 10 x в квадрате минус 2 a x в квадрате минус 10 a x = 0 равносильно x в кубе плюс 5 x в квадрате минус a x в квадрате минус 5 a x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 5, x = a. конец совокупности .$ $4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 5 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 4 x в степени 4 плюс 18 x в кубе плюс 15 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 4 x в степени 4 плюс 25 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 20 x в кубе минус 4 a x в квадрате минус 10 a x равносильно$
$равносильно 2 x в кубе плюс 10 x в квадрате минус 2 a x в квадрате минус 10 a x = 0 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 5 x в квадрате минус a x в квадрате минус 5 a x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 5, x = a. конец совокупности .$

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие $2 x в квадрате плюс 5 x минус a больше или равно 0.$ Рассмотрим условия совпадения корней. При $a = 0$ и $a = минус 5$ уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа 0, −5, a различны. При $x = 0$ получаем $2 x в квадрате плюс 5 x минус a = минус a.$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или равно 0.$ При $x= минус 5$ получаем $2 x в квадрате плюс 5 x минус a = 25 минус a.$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или равно 25.$ При $x=a$ получаем $2 x в квадрате плюс 5 x минус a = 2 a в квадрате плюс 4 a.$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или равно минус 2$ или $a больше или равно 0.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при $a меньше минус 5 ,$ $минус 5 меньше a меньше или равно минус 2.$

Ответ: $a меньше минус 5,$ $минус 5 меньше a \leqslant минус 2.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a меньше минус 5,$ $минус 5 меньше a \leqslant минус 2.$

688785

$a меньше минус 5,$ $минус 5 меньше a \leqslant минус 2.$

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	688785	$a меньше минус 5,$ $минус 5 меньше a \leqslant минус 2.$