Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через точку O про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям BC и AD, и пе­ре­се­ка­ю­щую бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок этой пря­мой внут­ри тра­пе­ции равен её бо­ко­вой сто­ро­не.

б)  Най­ди­те длину ос­но­ва­ния AD, если AO  =  CO, BC  =  31 и дан­ная пря­мая делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии AM : MB  =  4 : 5.

а)  Пря­мые MO и AD па­рал­лель­ны, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AMO рав­но­бед­рен­ный и Ана­ло­гич­но По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

6)  Пусть Тогда

Пусть Тогда По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков AMO и CNO имеем:

от­ку­да на­хо­дим, что

Про­ведём вы­со­ты M₁M₂ и N₁N₂ через точки M и N со­от­вет­ствен­но и найдём длины ос­но­ва­ний тра­пе­ции:

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)  49.