PDF-версии: 
Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое число n, что 
б) Существует ли такое число n, что 
в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n, что 
?
Решение. a) Число 
должно делиться на 3, поскольку при делении на 3 число 
даёт такой же остаток, что и число n. При этом 2026 на 3 не делится. Значит, искомого числа n не существует.
б) Если 
то 
и 
Если 
то 
и 
При n, равных 500, 501, 502, 503, 504, 505 и 506, выражение 
равно 2005, 2010, 2015, 2020, 2025, 2030 и 2035 соответственно. Значит, искомого числа n не существует.
в) Пусть числа k и n таковы, что 
Тогда числа и n при делении на 9 дают такой же остаток, что и число 10 542 . Этот остаток равен 3. Значит, n может равняться 12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75, 84 или 93. При 
и 
имеем
что невозможно. При остальных возможных значениях n имеем 
Отсюда получаем, что 
Среди делителей числа 1170 только один входит в множество допустимых значений для n — это 39. Значит, 
и 
При таких n и k имеем 
Следовательно, не только наименьшим, но и единственным числом k, удовлетворяющим условиям задачи, является число 30.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 30.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |