PDF-версии: 
Найдите все возможные значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Чтобы простроить график первого уравнения системы, используем метод областей: построим прямые 
и 
они разбивают координатную плоскость на четыре области, в каждой их которых стоящие под знаком модуля выражения сохраняют знак. Взяв пробные точки в полученных областях, снимаем знаки модулей:
— в области 1 выберем точку с
— в области 2 выберем точку с
— в области 3 выберем точку с
— в области 4 выберем точку с
Следовательно, графиком уравнения 
является прямоугольник с вершинами в точках
и 
Графиком второго уравнения
является окружность с центром в точке 
радиусом 
при 
вырождающаяся в точку. Система имеет решения тогда и только тогда, когда прямоугольник ABCD и окружность имеют общие точки. При 
окружность 
(выделена синим) касается стороны BC в точке 
Окружность 
(выделена зелёным) проходит через точки A и D при условии
Таким образом, система имеет решения при
При прочих значениях параметра a система решений не имеет.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |