PDF-версии: 
Точка F лежит на меньшей дуге ВС окружности, описанной около квадрата ABCD, причем 
Прямая AF пересекает сторону ВС в точке Т, а диагональ BD — в точке О.
а) Докажите, что ТО = ТС.
б) Найдите длину стороны квадрата, если ВО = 1.
Решение. а) На бо́льшую дугу CB опирается угол, равный 270°. Отсюда последовательно получаем:
Хорда AC является диаметром, поэтому 
Пусть радиус окружности равен R. По теореме синусов получаем 
Далее 
то есть 
Тогда
откуда
По теореме синусов для треугольников FCT и BOT находим:
Отношение полученных выражений равно
откуда следует, что 
б) По теореме синусов для треугольника BOT находим:
Из пункта а) известно, что 
Следовательно,
Длина стороны квадрата больше длины радиуса описанной около него окружности 
раз,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |