РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 685382 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2026 по математике. Профильный уровень

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 плюс 2 косинус левая круглая скобка Пи минус 2x правая круглая скобка плюс корень из 8 синус x = корень из 6 плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$2 плюс 2 косинус левая круглая скобка Пи минус 2x правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно 2 минус 2 косинус 2x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , 2 синус x = минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 плюс 2 косинус левая круглая скобка Пи минус 2x правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 косинус 2x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , 2 синус x = минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 плюс 2 косинус левая круглая скобка Пи минус 2x правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 косинус 2x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 2 синус x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , 2 синус x = минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 плюс 2 косинус левая круглая скобка Пи минус 2x правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 косинус 2x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x равносильно$
$равносильно 2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка синус x минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2 синус x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , 2 синус x = минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ с помощью тригонометрической окружности. Получим числа $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

685382

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2026 по математике. Профильный уровень

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	685382	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$