Ре­ше­ние. Пусть удач­ная трой­ка это числа a, b и c, причём Тогда

То есть при вы­пол­не­нии усло­вия для наи­мень­ше­го числа в трой­ке, ана­ло­гич­ные усло­вия для осталь­ных чисел в трой­ке будут вы­пол­не­ны ав­то­ма­ти­че­ски.

а)  По усло­вию Тогда из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем

Таким об­ра­зом, Зна­чит, су­ще­ству­ет 15 удач­ных троек: 50, 60, 61;  50, 60, 62; ... 50, 60, 75.

б)  Для чисел a, b и c спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

Зна­чит, не может быть удач­ной трой­ки, одно из чисел ко­то­рой равно 15.

в)  Если в чис­лах рас­став­лен­ных по кругу любые три под­ряд иду­щих числа об­ра­зу­ют удач­ную трой­ку, зна­чит, каж­дое число, в том числе и наи­мень­шее, вхо­дит ми­ни­мум в три трой­ки, при усло­вии, что чисел не мень­ше пяти. При любом по­ряд­ке чисел наи­мень­шее число а обя­за­тель­но долж­но по­пасть в трой­ку с чис­лом не мень­шим чем a + 4. Тогда

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко в слу­чае, если ни в одну трой­ку с чис­лом 20 не по­па­да­ет число боль­шее 24. Тогда воз­мож­ны толь­ко два спо­со­ба рас­ста­нов­ки чисел для троек вклю­ча­ю­щих число 20:

Тогда для трой­ки 21, 24, m долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

Все числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие этому усло­вию, уже ис­поль­зо­ва­ны. Зна­чит, при ис­поль­зо­ва­нии числа 20 по кругу можно рас­ста­вить не более пяти чисел.

Если наи­мень­шим чис­лом яв­ля­ет­ся число 21, то по кругу можно рас­ста­вить не более 80 чисел, ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся если будут ис­поль­зо­ва­ны все числа от 21 до 100. При­ве­дем при­мер такой рас­ста­нов­ки: по убы­ва­нию рас­ста­вим все чётные числа, на­чи­ная с числа 100 и за­кан­чи­вая чис­лом 22, затем по воз­рас­та­нию рас­ста­вим все не­чет­ные числа, на­чи­ная с числа 21 и за­кан­чи­вая чис­лом 99.

При такой рас­ста­нов­ке для любых трёх под­ряд иду­щих чисел наи­боль­шее число не пре­вы­ша­ет наи­мень­шее более чем на 4, а сред­нее более чем на 2. Тогда

и усло­вие вы­пол­не­но для любых трёх под­ряд иду­щих чисел.

Ответ: а) 15; б) нет; в) 80.