PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Решим задачу графоаналитическим способом. В системе координат xOy построим график первого уравнения исходной системы. Для этого преобразуем уравнение:
Графиком первого уравнения исходной системы является объединение прямой 
и части гиперболы 
лежащей не ниже этой прямой (выделено синим). Найдём точки пересечения прямой и гиперболы:
Таким образом, прямая и гипербола пересекаются в точках 
и 
Графиком уравнения 
является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 3, пересекающих ось ординат в точке 
Количество решений системы равно числу общих точек графиков уравнений исходной системы.
Найдём граничные положения прямой 
Прямая 
проходит через точку 
(выделено пурпурным) при
Прямая проходит через точку 
(выделено оранжевым) при
Прямая касается гиперболы 
(выделено красным) при выполнении следующих условий:
Таким образом, при 
прямая касается гиперболы в точке 
при 
— в точке 
Анализируя графики получаем, что исходная система:
— при 
имеет одно решение;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения;
— при — два решения;
— при 
— одно решение;
— при — два решения;
— при 
— три решения.
Ответ: 
Приведем аналитический способ решения.
Подставим второе уравнение системы 
в первое уравнение. Получим 
Заметим, что одним из корней полученного уравнения, будет 
Далее возможны три варианта, в которых уравнение 
даст ровно один корень.
1. Уравнение имеет единственный корень, причем выражение под корнем 
положительно. Тогда дискриминант равен нулю, откуда
то есть −2 или 2 соответственно. И в том и в другом случае выражение получается положительным.2. Уравнение имеет два корня, но один из них равен 
а для второго выражение положительно. Подставляя, получим
При 
получаем уравнение 
с корнями 
и 4 
—
получаем уравнение 
с корнями 
и 
—
3. Уравнение имеет два корня, для одного из них выражение положительно, а для другого отрицательно, то есть 
лежит между корнями этого уравнения. То есть значение функции 
в точке отрицательно. Оно уже вычислено в предыдущем пункте и мы получаем 
откуда 
Окончательный ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |