PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. При 
второе уравнение системы не имеет решений. При 
второе уравнение имеет решение 
не являющееся решением первого уравнения. Значит, 
Преобразуем левую часть первого уравнения системы
откуда 
Складывая и вычитая это уравнение и уравнение 
получим:
и аналогично
Если выражение в правой части хотя бы одного из полученных уравнений отрицательно, то решений нет. Если они оба положительны, это дает по два варианта для x и y, то есть 4 варианта для пары 
Наконец, если одно из них равно нулю, то одна из неизвестных равна нулю, а для другой не более двух вариантов, то есть у системы не более двух решений. Итак, должны выполняться неравенства
С помощью метода интервалов получим, что 
и 
Значит, оба неравенства выполнены при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |