Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, — в точке M.
а) Докажите, что треугольник BMC равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC, если AC = 3, BC = 8, AB = 9.
Решение. а) Из условия
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому 
и 
Следовательно, в треугольнике BMC углы при основании равны, поэтому он равнобедренный по признаку.
б) Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, пропорциональны прилежащим сторонам:
Отсюда 
По теореме косинусов в треугольнике BAC:
Значит,
По теореме синусов для треугольника KMC получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |