PDF-версии: 
Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что 
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б) Найдите AB, если 
и AC = 3.
Решение. а) Пусть угол BAC равен α. Центральный угол COB и вписанный угол CBA опираются на одну дугу, значит, угол COB равен 2α. Вписанные углы COB и CPA опираются на одну дугу, следовательно, они равны. Тогда углы PAC и BAC равны 2α. Треугольники ABC и PAC подобны по двум углам.
б) Треугольники ABC и PAC подобны, поэтому угол OAC равен углу ABC, то есть равен α. Тогда луч AP — биссектриса. Из подобия треугольников получим:
откуда 
По свойству биссектрисы получаем:
откуда
Тогда
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |