РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 680798 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение. Преобразуем уравнение:

$25 в степени x минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка = 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 27 минус 3 в степени a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени a минус 27 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 25 в степени x минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка 27 минус 3 в степени a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени a минус 27 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 25 в степени x минус 5 в степени x умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 27 минус 3 в степени a правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 9 в степени a плюс 7 правая круглая скобка \left27 минус 3 в степени a правая круглая скобка =0,$

откуда $5 в степени x = 9 в степени a плюс 7$ или $5 в степени x = 27 минус 3 в степени a .$

Уравнение $5 в степени x =9 в степени a плюс 7$ при любом значении a имеет один корень. Значит, исходное уравнение имеет единственное решение в одном из двух случаев:

—  уравнение $5 в степени x = 27 минус 3 в степени a$ корней не имеет;

—  корни уравнений $5 в степени x = 9 в степени a плюс 7$ и $5 в степени x = 27 минус 3 в степени a$ равны.

Уравнение $5 в степени x =27 минус 3 в степени a$ не имеет корней при $27 минус 3 в степени a меньше или равно 0$ или $a больше или равно 3.$ Уравнения $5 в степени x =9 в степени a плюс 7$ и $5 в степени x =27 минус 3 в степени a$ имеют равные корни при

$9 в степени a плюс 7=27 минус 3 в степени a равносильно 9 в степени a плюс 3 в степени a минус 20=0 равносильно 3 в степени a =4 равносильно a= логарифм по основанию 3 4.$

Ответ: $левая фигурная скобка логарифм по основанию 3 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

680798

$левая фигурная скобка логарифм по основанию 3 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680798	$левая фигурная скобка логарифм по основанию 3 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$