РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 680794 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Угол между плоскостями, Расстояние от точки до плоскости, Сечение  — треугольник, Конус

Стереометрическая задача. Расстояние от точки до плоскости

Через вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 12.

а)  Докажите, что угол между плоскостью SAB и плоскостью основания конуса равен 60°.

б)  Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Решение. a)  Пусть точка M  — середина хорды AB. Треугольник AOB прямоугольный и равнобедренный, значит, $AM = MB = OM = 6.$ Угол SMO  — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью SAB и плоскостью основания конуса. В прямоугольном треугольнике SMO находим:

$тангенс \angle SMO = дробь: числитель: SO, знаменатель: OM конец дроби = дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

то есть $\angle SMO = 60 градусов.$

Рис. 1

Рис. 2

б)  Плоскости SMO и АSВ перпендикулярны, поэтому искомое расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно высоте ОН прямоугольного треугольника SMO. Так как $\angle SMO = 60 градусов,$ получаем, что $OH = OM умножить на синус 60 градусов = 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: б)  $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

680794

б)  $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680794	б)  $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$