РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 680774 Добавить в вариант

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 18.03.2025 вариант МА2410410

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2.$

б)  Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно 2 синус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 косинус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 2 плюс 2 косинус в квадрате x минус синус x плюс 2 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 косинус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 2 плюс 2 косинус в квадрате x минус синус x плюс 2 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 косинус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 2 плюс 2 косинус в квадрате x минус синус x плюс 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 косинус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 синус в квадрате x = синус x минус 2 равносильно$
$равносильно синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 2 плюс 2 косинус в квадрате x минус синус x плюс 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Нам подходят числа  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

680774

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 18.03.2025 вариант МА2410410

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680774	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$