РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа, которые оканчиваются цифрой 6, а Оля  — которые оканчиваются цифрой 8. Через некоторое время оказалось, что всего записано 50 чисел, а их сумма равна 8282.

а)  Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, и чисел, оканчивающихся цифрой 8, записано поровну?

б)  Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, записано ровно 49?

в)  Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой 8, могло быть записано?

Решение. а)  Нет. Если Юра записал 25 натуральных чисел, которые оканчиваются цифрой 6, то их сумма будет оканчиваться цифрой 0. Если Оля записала 25 натуральных чисел, которые оканчиваются цифрой 8, то их сумма будет оканчиваться цифрой 0. Значит, в таком случае сумма всех записанных ребятами чисел будет оканчиваться цифрой 0. Получено противоречие с условием задачи  — сумма должна оканчиваться цифрой 2.

б)  Нет. Найдем сумму 49 наименьших различных натуральных чисел, оканчивающихся цифрой 6.

$S = дробь: числитель: 2 умножить на 6 плюс 10 умножить на левая круглая скобка 49 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 49 = левая круглая скобка 6 плюс 5 умножить на 48 правая круглая скобка умножить на 49 = 12 054.$

Если к числу 12 054 прибавить наименьшее число, которое могла бы записать Оля, то полученная сумма окажется больше, чем 8282. Значит, Оля не могла записать только одно свое число.

в)  Предположим, что Оля записала n различных натуральных чисел, которые оканчиваются цифрой 8, тогда Юра записал (50 – n) своих чисел.

Сумма чисел, записанных Олей не меньше, чем

$дробь: числитель: 2 умножить на 8 плюс 10 умножить на левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=8 n плюс 5 n в квадрате минус 5 n = 5 n в квадрате плюс 3 n .$

Сумма чисел, записанных Юрой не меньше, чем

$дробь: числитель: 2 умножить на 6 плюс 10 умножить на левая круглая скобка 50 минус n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 50 минус n правая круглая скобка = левая круглая скобка 6 плюс 5 левая круглая скобка 49 минус n правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 50 минус n правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 251 минус 5 n правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 50 минус n правая круглая скобка = 5 n в квадрате минус 501 n плюс 12 550 .$

Тогда

$8282 больше или равно 5 n в квадрате плюс 3 n плюс 5 n в квадрате минус 501 n плюс 12550 равносильно 10 n в квадрате минус 498 n плюс 4268 меньше или равно 0 равносильно n в квадрате минус 49,8 n плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно n в квадрате минус 2 умножить на 24,9 n плюс 620,01 минус 620,01 плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка n минус 24,9 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 193,21.$ $8282 больше или равно 5 n в квадрате плюс 3 n плюс 5 n в квадрате минус 501 n плюс 12550 равносильно$
$равносильно 10 n в квадрате минус 498 n плюс 4268 меньше или равно 0 равносильно n в квадрате минус 49,8 n плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно n в квадрате минус 2 умножить на 24,9 n плюс 620,01 минус 620,01 плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка n минус 24,9 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 193,21.$ $8282 больше или равно 5 n в квадрате плюс 3 n плюс 5 n в квадрате минус 501 n плюс 12550 равносильно$
$равносильно 10 n в квадрате минус 498 n плюс 4268 меньше или равно 0 равносильно n в квадрате минус 49,8 n плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно n в квадрате минус 2 умножить на 24,9 n плюс 620,01 минус 620,01 плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка n минус 24,9 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 193,21.$ $8282 больше или равно 5 n в квадрате плюс 3 n плюс 5 n в квадрате минус 501 n плюс 12550 равносильно$
$равносильно 10 n в квадрате минус 498 n плюс 4268 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно n в квадрате минус 49,8 n плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно n в квадрате минус 2 умножить на 24,9 n плюс 620,01 минус 620,01 плюс 426,8 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка n минус 24,9 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 193,21.$

Так как n  — натуральное число, то $n больше или равно 11.$ Числа, которые записала Оля: 8, 18, 28, ..., 108. Их сумма равна 638. Числа, которые записал Юра: 6, 16, 26, ..., 386. Их сумма равна 7644, и сумма всех чисел равна 8282. Значит, 11  — наименьшее количество чисел, которые могла записать Оля.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680579	а) нет; б) нет; в) 11.

Ключ