РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 680573 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Применим формулы приведения и формулу синуса двойного угла, получим:

$2 синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно 2 синус 2x минус корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус x = минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 2 синус 2x минус корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус x = минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 2 синус 2x минус корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус x = минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $2 синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс Пи правая круглая скобка = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 2 синус 2x минус корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента синус x = минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента равносильно$
$равносильно 4 синус x косинус x минус 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента синус x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 2 синус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

б)  Найдём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .$ Для $x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k$ находим:

$дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно 21 меньше или равно минус 2 плюс 12k меньше или равно 30 равносильно 23 меньше или равно 12k меньше или равно 32 равносильно дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 32, знаменатель: 12 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 2.$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно 21 меньше или равно минус 2 плюс 12k меньше или равно 30 равносильно$
$равносильно 23 меньше или равно 12k меньше или равно 32 равносильно дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 32, знаменатель: 12 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = 2.$

Найденному значению параметра соответствует $x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Для $x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n$ получаем:

$дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно 5 Пи равносильно 21 меньше или равно минус 4 плюс 12n меньше или равно 30 равносильно 25 меньше или равно 12n меньше или равно 34 равносильно дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 34, знаменатель: 12 конец дроби .$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n меньше или равно 5 Пи равносильно 21 меньше или равно минус 4 плюс 12n меньше или равно 30 равносильно$
$равносильно 25 меньше или равно 12n меньше или равно 34 равносильно дробь: числитель: 25, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 34, знаменатель: 12 конец дроби .$

Полученное двойное неравенство не имеет целочисленных решений.

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

680573

а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680573	а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$