PDF-версии: 
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Уравнение
задаёт для каждого положительного значения параметра a на плоскости Oxy квадрат ABCD с вершинами в точках 
и 
Уравнение 
задаёт на плоскости Oxy ветвь параболы, заданной уравнением 
соответствующую условию 
Рассмотрим расположение квадрата ABCD и ветви параболы.
При 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет единственное решение 
При 
вершина квадрата 
принадлежит ветви параболы, при этом система имеет три решения.
Найдём такое значение параметра a, что парабола 
касается стороны AD. Эта сторона лежит на прямой 
Касание будет иметь место при условии единственности корня уравнения 
Перепишем его в виде 
Вычислим дискриминант:
Он равен нулю при 
При этом значении параметра уравнение имеет единственный корень 
Это означает, что при 
прямая 
касается параболы в точке 
Эта точка принадлежит одновременно ветви параболы и отрезку AD.
Таким образом, найдено три граничных значения параметра: при система уравнений имеет одно решение, при — —
и при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |