РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 680006 Добавить в вариант

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 18.03.2025 вариант МА2410409

Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а)  Докажите, что OP  =  CP.

б)  Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если расстояние от точки P до прямой AC равно 24, $\angle ABC = 60 градусов.$

Решение. а)  Обозначим углы треугольника ABC: $\angle A = 2 альфа ,$ $\angle B = 2 бета ,$ $\angle C = 2 гамма .$ Заметим, что $2 альфа плюс 2 бета плюс 2 гамма = 180 градусов.$ Углы $\angle BPC = \angle BAC = 2 альфа ,$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Аналогично $\angle ACP = \angle ABP = бета .$ Тогда $\angle COP = 180 градусов минус гамма минус бета минус 2 альфа = гамма плюс бета .$ Но $гамма плюс бета = \angle OCP,$ следовательно, треугольник OCP  — равнобедренный, а тогда OP  =  CP.

б)  Пусть R  — радиус окружности, Описанной около треугольника ABC. По теореме синусов $AP = 2R синус \angle ABP = 2R синус 30 градусов,$ тогда расстояние от точки P до прямой AC равна

$AP умножить на синус \angle PAC = AP умножить на синус \angle PBC = Ap умножить на синус 30 градусов = 2R синус в квадрате 30 градусов = дробь: числитель: R, знаменатель: 2 конец дроби .$

Получаем R : 2  =  24, откуда находим R  =  48.

Ответ: б)  48.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  48.

680006

б)  48.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 18.03.2025 вариант МА2410409

Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680006	б)  48.