Тип 19 № 677691 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91?
в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
Решение. а) Примером таких чисел являются числа 7124 и 7119.
б) Предположим, что такие числа существуют. Рассмотрим какие-либо два таких интересных числа. Пусть 
— десятичная запись большего из них, а k — та из цифр a, b, c или d, которая равна сумме трёх других. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Аналогично получаем, что сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна d − 1. Так как c − 9, либо отрицательно, либо равно 0, третья цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна c + 1. Аналогично получаем, что вторая цифра этого числа равна b − 1. Наконец, первая цифра этого числа равна a. Значит, сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел на единицу меньше суммы чисел большего из них. Пришли к противоречию.
в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём пример интересного четырёхзначного числа, кратного 3, 5, 7 и 9, — это число 9135.
Пусть — десятичная запись какого-либо интересного числа, кратного 11. Тогда
Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a, b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b + d = a + c, либо эти две суммы отличаются на 11. Составим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k — та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других, l — та из них, которая в паре с k. Пусть m и n — две оставшиеся из цифр a, b, c и d. Поскольку k = l + m + n, имеем k + l > m + n. Значит, k + l = m + n + 11. Вычитая из этого равенства равенство k = l + m + n, получаем l = 11 − l . Следовательно, 2l = 11. Пришли к противоречию. Значит, не существует интересных четырёхзначных чисел, кратных 11.
Ответ: а) Да, например, 7124 и 7119; б) нет; в) 11.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
PDF-версии: