Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в точке P. Про­длим пря­мую BP до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ребра CC₁ в точке T. Про­ве­дем пря­мую DT, пусть она пе­ре­се­чет ребро C₁D₁ в точке Q (см. рис.). Тогда че­ты­рех­уголь­ник BPQD  — се­че­ние куба плос­ко­стью α. Пусть тогда

от­ку­да Далее,

По­лу­чен­ная пло­щадь по усло­вию равна трети от общей плос­ко­сти бо­ко­вой по­верх­но­сти куба. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да и сле­ду­ет, что

б)  Най­дем объем усе­чен­ной пи­ра­ми­ды BCDPC₁Q:

Объем куба равен Сле­до­ва­тель­но, объ­е­мы ча­стей от­но­сят­ся как

Ответ: б)  13 : 41.