PDF-версии: 
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD. Плоскость α пересекает ребра DD1 и AA1 в точках М и K соответственно так, что DM : MD1 = 4 : 1, AK : KA1 = 2 : 3, а ребро АВ — в середине L.
а) Докажите, что плоскость α проходит через точку С.
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если сторона ромба равна 
тангенс острого угла ромба равен 
а высота призмы равна 10.
Решение. а) Продлим прямую KM до пересечения с прямой AD в точке P. Отрезок AK — средняя линия треугольника PMD, поскольку
Значит, PA = AD, а тогда по двум сторонам и углу между ними равны треугольники 
и точки P, L, C лежат на одной прямой. Тогда точки K, M, L и C лежат в одной плоскости — плоскости α.
б) Плоскость α делит ребро AB точкой пересечения пополам, поэтому точки
Объем пирамиды равен
Пусть расстояние от точки A до плоскости α равно h. Тогда 
откуда 
Найдем стороны треугольника PKL: сторону PL по теореме косинусов в треугольнике PAL, а стороны
В зависимости от градусной меры угла PAL находим
или
Если 
то по теореме косинусов в треугольнике PLK
Тогда 
и площадь треугольника PLK равна
а искомое расстояние равно 
Если 
то по теореме косинусов в треугольнике PLK
Тогда 
и площадь треугольника PLK равна
а искомое расстояние равно 
Ответ: б) 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или