PDF-версии: 
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку D проведена плоскость α, перпендикулярная прямой AF1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AA1 в отношении 1 : 3, считая от точки A.
б) Найдите угол между прямой C1A и плоскостью α.
Решение. а) Выберем на ребре призмы AA1 точку A2 такую, чтобы отрезки BA2 и B1A были перпендикулярны. Тогда плоскость DBA2 перпендикулярна отрезку B1D, поскольку отрезки BD и AB перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок B1A перпендикулярен отрезку BD. Наконец, так как перпендикулярны отрезки BA2 и B1A и отрезки BD и B1A, то про признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость DBA2 перпендикулярна отрезку B1A. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, следовательно, плоскость α совпадает с плоскостью DBA2. Заметим, что
то есть подобны треугольники B1BA и BAA2, откуда следует
Таким образом, A1A2 = 3 и AA2 : A1A2 = 1 : 3.
б) Пусть прямая C1A пересекает плоскость α в точке P, а прямая B1A — в точке H. Тогда отрезок PH — проекция прямой C1A на плоскость α. Обозначим искомый угол φ. Тогда 
Из треугольника CBA по теореме косинусов:
По теореме Пифагора из треугольников ACC1 и ABB1 соответственно получаем:
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника C1AB1:
Значит, 
то есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |