PDF-версии: 
Сторона AC треугольника ABC в два раза больше стороны AB. Продолжение биссектрисы AL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P. Известно, что BC = 6, LP = 2.
а) Докажите, что прямые AC и BP параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. а) Пусть AC = 2x, AB = x. По свойству биссектрисы
тогда CL = 4, LB = 2. По теореме о пересекающихся хордах получаем:
Следовательно, AL = LB. Углы LCA и LAC равны как углы при основании равнобедренного треугольника. В свою очередь, углы LAC и LBP равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Следовательно, при пересечении прямых AC и BP секущей BC образовались равные углы LCA и LBP, а значит, прямые AC и BP параллельны.
б) В треугольниках CAL и LAB воспользуемся теоремой косинусов, получим:
Приравняем полученные выражения, решим полученное уравнение:
Значит, полупериметр треугольника ABC равен 
то есть 
Воспользуемся формулой Герона:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |