РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 676858 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени 4 меньше или равно 4.$

Решение. Неравенство определено на множестве $M = левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8; 9 правая круглая скобка .$ На этом множестве справедливо тождество

$логарифм по основанию левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка в степени 4 = дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка конец дроби .$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка ,$ тогда

$t плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 4 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t = 2, t меньше 0. конец совокупности .$

Таким образом,

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка меньше 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка =2 конец совокупности . \underset x принадлежит M \mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 9 минус x минус 1, знаменатель: x минус 3 минус 1 конец дроби меньше 0, 9 минус x= левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x минус 8, знаменатель: x минус 4 конец дроби больше 0, x в квадрате минус 5x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше 4, x=5, x больше 8 конец совокупности .\underset x принадлежит M \mathop равносильно совокупность выражений 3 меньше x меньше 4, x=5, 8 меньше x меньше 9. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 8;9 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

676858

$левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 8;9 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	676858	$левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 8;9 правая круглая скобка .$