РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 676856 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения и неравенства

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 1 минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента = синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка .$

б)   Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  По формулам приведения $синус левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = косинус x,$ откуда находим:

$корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x конец аргумента = косинус x равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус в квадрате x конец системы . равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 2 минус синус x = 2 минус 2 синус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 2 синус в квадрате x минус синус x = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x конец аргумента = косинус x равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 2 минус синус x = 2 минус 2 синус в квадрате x конец системы . равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 2 синус в квадрате x минус синус x = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x конец аргумента = косинус x равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x = косинус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 2 минус синус x = 2 минус 2 синус в квадрате x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, 2 синус в квадрате x минус синус x = 0 конец системы . равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, совокупность выражений синус x = 0, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно 0, совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2 Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, конец совокупности . k, m принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:

$минус 4 Пи меньше или равно 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 2 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 2.$

Найденному значению k соответствует корень  $минус 4 Пи .$ Рассмотрим вторую серию корней:

$минус 4 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m меньше или равно минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 12 меньше или равно m меньше или равно минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби \underset m принадлежит Z \mathop равносильно m = минус 2.$

Найденному значению m соответствует корень  $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 4 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

676856

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 4 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	676856	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 4 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$