PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 2 решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
В системе координат xOy графиком первого уравнения совокупности является парабола 
графиком второго уравнения — точка 
графиком третьего уравнения — прямая 
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство прямых 
Рассмотрим взаимное расположение графиков.
Найдём точки пересечения графиков функций 
и 
Значит, графики пересекаются в точках 
и 
Найдём точки пересечения графиков функций и 
Значит, при любом значении параметра a прямая 
является касательной к параболе в точке 
Найдём значения параметра a, при которых прямая проходит через точку 
Найдём значения параметра a, при которых прямая параллельна или совпадает с прямой 
приравняв угловые коэффициенты. Получаем: 
откуда 
При 
получаем:
значит, прямые параллельны. При остальных значениях параметра a
прямые имеют одну общую точку 
Таким образом, прямая имеет с графиком первого уравнения исходной системы
— при 
одну общую точку 
— при 
одну общую точку 
— при 
три общие точки 
и 
— при всех остальных значениях параметра a две общие точки 
и
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |