РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 676265 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 496

Классификатор планиметрии: Равнобедренная трапеция, Окружность, вписанная в треугольник

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD $левая круглая скобка BC меньше AD правая круглая скобка$ окружности, вписанные в треугольники АВС и ACD, делят диагональ АС в отношении 2 : 1 : 1, считая от точки А.

а)  Докажите, что одно из оснований трапеции равно боковой стороне.

б)  Найдите отношение, в котором диагональ АС делит площадь трапеции.

Решение. а)  Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC буквами P, Q и M соответственно. По условию AM  =  MC, кроме того, AM  =  AP, MC  =  CQ, BQ  =  BP как отрезки касательных, а тогда

$AB = AP плюс PB = BQ плюс QC = BC.$

б)  Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AC, CD и AD буквами N, K и L соответственно. Пусть $BP = BQ = y,$ $AM = AP = 2x.$ Тогда

$MN = NC = CK = x,$

$CD = AB = 2x плюс y,$

$KD = DL = x плюс y,$

$AD = AL плюс LD = 3x плюс x плюс y = 4x плюс y.$

Проведем высоту трапеции CH, тогда $CH в квадрате = AC в квадрате минус AH в квадрате = CD в квадрате минус HD в квадрате .$ Заметим, что

$HD = дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 4x плюс y минус левая круглая скобка 2x плюс y правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = x,$

откуда

$левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс y правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате равносильно 7x в квадрате минус 6xy минус y в квадрате = 3x в квадрате плюс 4xy плюс y в квадрате равносильно$
$равносильно 2x в квадрате минус 5xy минус y в квадрате = 0 равносильно 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 5 умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби минус 1 = 0 \underset дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби больше 0 \mathop равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс y правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате равносильно$
$равносильно 7x в квадрате минус 6xy минус y в квадрате = 3x в квадрате плюс 4xy плюс y в квадрате равносильно 2x в квадрате минус 5xy минус y в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 5 умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби минус 1 = 0 \underset дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби больше 0 \mathop равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ $левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3x плюс y правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2x плюс y правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате равносильно$
$равносильно 7x в квадрате минус 6xy минус y в квадрате = 3x в квадрате плюс 4xy плюс y в квадрате равносильно$
$равносильно 2x в квадрате минус 5xy минус y в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 5 умножить на дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби минус 1 = 0 \underset дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби больше 0 \mathop равносильно дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Наконец,

$дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: S_ACD конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: 2x плюс y, знаменатель: 4x плюс y конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на \tfracx, знаменатель: y конец дроби плюс 14 умножить на \tfracxy плюс 1 = дробь: числитель: \dfrac5 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 15 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента плюс 1 = дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 12 плюс 2 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$ $дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: S_ACD конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: 2x плюс y, знаменатель: 4x плюс y конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на \tfracx, знаменатель: y конец дроби плюс 14 умножить на \tfracxy плюс 1 =$
$= дробь: числитель: \dfrac5 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 15 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента плюс 1 = дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 12 плюс 2 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: б)  $дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

676265

б)  $дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 496

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: Равнобедренная трапеция, Окружность, вписанная в треугольник

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	676265	б)  $дробь: числитель: 9 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$