РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 10, а среднее арифметическое шести наибольших равно 30.

а)  Может ли наименьшее из этих чисел равняться 8?

б)  Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 22?

в)  Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Решение. a)  Если наименьшее число равно 8, то сумма шести наименьших чисел не меньше $8 плюс 9 плюс 10 плюс 11 плюс 12 плюс 13 = 63,$ а их среднее арифметическое больше 10.

б)  Пусть сумма четырёх наименьших чисел равна A, сумма пятого и шестого по величине чисел равна B, а сумма четырёх наибольших чисел равна C. Предположим, что среднее арифметическое всех десяти чисел равно 22. Тогда получаем

$A плюс B = 60,$

$B плюс C = 180,$

$A плюс B плюс C = 220,$

откуда находим A  =  40, B  =  20. Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство $A меньше 2B.$

в)  По условию $A плюс B = 60,$ $B плюс C = 180.$ Среднее арифметическое будет наибольшим, когда будет наибольшей сумма всех чисел:

$A плюс B плюс C = левая круглая скобка A плюс B правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B плюс C правая круглая скобка минус B = 240 минус B.$

Значит, нужно найти наименьшее значение B. Пусть числа, написанные на доске, равны $a_1, a_2, \ldots, a_10,$ причём $a_1 меньше a_2 меньше \ldots меньше a_10.$ Тогда $a_1 плюс 4 меньше или равно a_5,$ $a_2 плюс 4 меньше или равно a_6,$ $a_3 плюс 2 меньше или равно a_5,$ $a_4 плюс 2 меньше или равно a_6,$ следовательно,

$a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс 12 меньше или равно 2a_5 плюс 2a_6,$

$A плюс 12 меньше или равно 2B.$

Значит, $3B больше или равно A плюс B плюс 12 = 72,$ $B больше или равно 24.$ Если B  =  24, то $a_5 меньше или равно 11,$ $a_4 меньше или равно 10,$ ..., $a_1 меньше или равно 7,$ следовательно, $A меньше или равно 30.$ Получаем противоречие, поскольку $A плюс B меньше или равно 54 меньше 60.$ Значит, $B больше или равно 25.$

Покажем, что число B может равняться 25. Например, если на доске написаны числа 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 110, то условия задачи выполнены и B  =  25. Таким образом, наибольшее значение среднего арифметического равно $дробь: числитель: A плюс B плюс C, знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: 240 минус B, знаменатель: 10 конец дроби = 21,5.$

Ответ: а)  нет, б)  нет, в)  21,5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	674976	а)  нет, б)  нет, в)  21,5.

Ключ