PDF-версии: 
В треугольнике АВС высота СН и медиана CK делят угол АСВ на три равных угла. Площадь треугольника АВС 
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности.
Решение. а) Пусть AH = HM = x, BM = 2x, CH = y. По свойству биссектрисы
то есть BC = 2y. Из равенства 
получаем:
Тогда
Значит,
откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, 
б) Из пункта а) следует, что
Отсюда 
Найдем полупериметр треугольника:
По формуле S = pr найдем
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |