В треугольнике АВС высота СН и медиана CK делят угол АСВ на три равных угла. Площадь треугольника АВС равна $1,5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности.

Решение. а) Пусть AH = HM = x, BM = 2x, CH = y. По свойству биссектрисы $дробь: числитель: BC, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: BM, знаменатель: MH конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби ,$ то есть BC = 2y. Из равенства $CH в квадрате плюс BH в квадрате = BC в квадрате$ получаем:

$y в квадрате плюс левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2y правая круглая скобка в квадрате равносильно y = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x.$

Тогда

$AC в квадрате = x в квадрате плюс y в квадрате = 4x в квадрате ,$

$BC в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x правая круглая скобка в квадрате = 12x в квадрате .$

Значит,

$AC в квадрате плюс CB в квадрате = 4x в квадрате плюс 12x в квадрате = 16x в квадрате = левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате = AB в квадрате ,$

откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle ACB = 90 градусов.$

б) Из пункта а) следует, что

$S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2x умножить на 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x в квадрате = 1,5 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = дробь: числитель: 3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Отсюда $x в квадрате = дробь: числитель: 3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ Найдем полупериметр треугольника:

$p = дробь: числитель: AC плюс CB плюс AC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2x плюс 4x плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x, знаменатель: 2 конец дроби = 3x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x.$

По формуле S = pr найдем

$r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x в квадрате , знаменатель: 3x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x конец дроби = дробь: числитель: 2x, знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: \tfrac3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x в квадрате , знаменатель: 3x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента x конец дроби = дробь: числитель: 2x, знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: \tfrac3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби конец аргумента 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4 плюс 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

674830

б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 491

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: Треугольники, Окружность, вписанная в треугольник