PDF-версии: 
В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом.
а) Докажите, что прямые АВ и CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если 
Решение. а) Пусть отрезок DH — высота пирамиды. Тогда треугольники CDH, ADH, BDH равны по общему катету DH и острому углу. Тогда
б) Из равенства треугольников CDH, ADH и BDH следует, что 
то есть отрезки BM и AB перпендикулярны. Тогда плоскость CDM перпендикулярна отрезку AB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (ведь отрезок CM также перпендикулярен отрезку AB). Тогда отрезок MN перпендикулярен отрезку AB как высота треугольника CMD.
Далее,
Пусть CN = x. Тогда 
то есть
Значит,
Но отрезок MN — общий перпендикуляр для ребер CD и AB, следовательно, это и есть искомое расстояние.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |