Тип Д10 C2 № 674582 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые ребра равны, а высота пирамиды проходит через середину стороны BC. Через точки A, B и середину ребра SC проходит плоскость α, 
а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 3, считая от точки D.
б) Найдите угол между плоскостями α и SCD, если высота пирамиды в четыре раза меньше, чем сторона BC.
Решение. 
а) Пусть отрезок SH — высота пирамиды. Тогда из условия следует равенство треугольников SAH, SBH, SDH и SCH, откуда 
Значит, четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке H, причем точка H — середина отрезка BC, то есть отрезок BC есть диаметр.
Пусть точка M — середина отрезка SC, точка P — точка пересечения отрезков PM и SD. Ясно, что четырехугольник BMKA — сечение пирамиды плоскостью α. Отрезок BC — диаметр, поэтому 
Пусть 
Тогда по теореме Пифагора 
Пусть 
Следовательно,
Подставляя, получаем
По теореме Менелая для треугольника SCD и секущей MK получаем
б) Из условия 
откуда по теореме Пифагора 
Пусть точка M1 — середина отрезка HC, отрезок MQ — высота треугольника BMP. Тогда отрезки MQ и AC параллельны, и 
Далее, по теореме Пифагора
значит, площадь треугольника MBP равна
Пусть точка T — середина отрезка CD. Тогда
и
По теореме косинусов:
Кроме того,
Пусть φ — угол между плоскостями BMP и CMP. Тогда
откуда 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 674582
б) 
PDF-версии: