РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 673260 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $16 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 4 тангенс x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение

$16 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно 2 в степени левая круглая скобка 4 тангенс x плюс синус 2x правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно 4 тангенс x плюс синус 2x = 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x равносильно$
$равносильно система выражений 2 синус x косинус x = 2 косинус в квадрате x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений синус x = косинус x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно тангенс x = 1 равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $16 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно 2 в степени левая круглая скобка 4 тангенс x плюс синус 2x правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 тангенс x плюс синус 2x = 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x равносильно система выражений 2 синус x косинус x = 2 косинус в квадрате x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений синус x = косинус x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно тангенс x = 1 равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $16 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно 2 в степени левая круглая скобка 4 тангенс x плюс синус 2x правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 тангенс x плюс синус 2x = 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x равносильно$
$равносильно система выражений 2 синус x косинус x = 2 косинус в квадрате x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений синус x = косинус x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно тангенс x = 1 равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $16 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка = 4 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 4 тангенс x плюс синус 2x правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 4 тангенс x плюс синус 2x = 2 косинус в квадрате x плюс 4 тангенс x равносильно$
$равносильно система выражений 2 синус x косинус x = 2 косинус в квадрате x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений синус x = косинус x, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно тангенс x = 1 равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Длина данного отрезка меньше  $2 Пи ,$ поэтому отрезку принадлежат не более двух чисел, задаваемых формулой $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ Подходят числа $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 3 Пи = минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и число $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 4 Пи = минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

673260

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	673260	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$