PDF-версии: 
Из каждого четырёхзначного числа вычли сумму его цифр и полученный результат разделили на 99.
а) Могло ли получиться число 65?
б) Могло ли получиться число 15?
в) Сколько различных натуральных чисел могло получиться?
Решение. Пусть цифры числа — это a, b, c и d, тогда число равно 
после вычитания суммы цифр получим 
а после деления на 99 получим:
Чтобы это число было натуральным, необходимо и достаточно, чтобы a + c делилось на 11. Поскольку
и
это выполнено лишь при a + c = 11. Значит, результат деления равен 10a + b + 1. Заметим сразу, что результат деления не зависит от цифры d.
а) Да, например, если a = 6, b = 4.Тогда c = 5, а цифра d произвольная. Итак, подойдет, например, число 6450.
б) Нет. Выражение 
при условии 
и 
дает a = 1. Значит, c = 10, что невозможно.
в) Заметим, что при a = 1 c = 10, что невозможно, а при остальных 
получаем возможное значение c. Значит, есть 8 вариантов выбора a и независимо от них 10 вариантов выбора b, что дает 80 различных двузначных чисел 
Поэтому есть 80 возможных ответов — от 21 до 100.
Ответ: а) да; б) нет; в) 80.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |