РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а)  Могло ли в результате такой операции получиться число 180?

б)  Могло ли в результате такой операции получиться число 134?

в)  Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 300 до 700 включительно?

Решение. a)  Сумма цифр числа 550 равна 10. Следовательно, в результате операции из этого числа получится $дробь: числитель: 550 минус 10, знаменатель: 3 конец дроби = 180.$

б)  Пусть число равно $100a плюс 10b плюс c,$ где a, b и c  — цифры и $a не равно q 0.$ Тогда сумма цифр такого числа равна $a плюс b плюс c,$ а в результате операции из него получится число

$дробь: числитель: левая круглая скобка 100a плюс 10b плюс c правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби = 33a плюс 3b.$

Получившееся число делится на 3. Следовательно, число 134 не могло получиться.

в)  Заметим, что получившееся число не зависит от последней цифры исходного числа, поэтому достаточно найти количество различных чисел, получающихся из чисел, делящихся на 10.

Рассмотрим числа $100a плюс 10b$ и $100x плюс 10y,$ где a, b, x и y  — цифры и $a не равно q 0,$ $x не равно q 0.$ В результате операции из них получатся числа $33a плюс 3b$ и $33x плюс 3y$ соответственно. Разность этих чисел равна $33 левая круглая скобка a минус x правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка b минус y правая круглая скобка .$ Если $a не равно q x,$ то эта разность не может быть равной нулю, поскольку $|3 левая круглая скобка b минус y правая круглая скобка | меньше или равно 27.$ Если $a = x,$ то разность может быть равной нулю только при $b = y,$ то есть если исходные числа совпадают. Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.

Среди чисел от 300 до 700 ровно 41 число делится на 10. Следовательно, в результате операции из чисел от 100 до 700 может получиться 41 различное число.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  41.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	672905	а)  да, б)  нет, в)  41.

Ключ