PDF-версии: 
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если 
Решение. а) Треугольники BCM и CDN равны по двум катетам, поэтому
откуда
следовательно, отрезки NK и CK перпендикулярны. Значит, треугольники NKC и MBC подобны, из чего следует, что 
Далее, 
поэтому прямая KB есть биссектриса внешнего угла K треугольника NKC, а потому 
б) Найдем
По теореме синусов 
откуда находим:
Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом AB. Эта окружность проходит через точку D, причем меньшая дуга BD окружности равна центральному углу BAD, то есть 90°, а большая дуга BD этой окружности равна, следовательно, 270°. В пункте а) доказано, что 
поэтому 
Но вписанный угол, равный 135°, опирается на дугу в 270°, а потому точки B, K, D лежат на одной окружности с центром A, и тогда 
Таким образом,
Тогда по основному тригонометрическому тождеству 
Применяя обобщенную теорему синусов к треугольнику ABK, находим радиус описанной вокруг него окружности:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |