РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 672515 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 483

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Натуральные числа k, l, m и n удовлетворяют условию $k больше l больше m больше n.$

а)  Может ли $k плюс l плюс m плюс n = 20,$ если $k в квадрате минус l в квадрате плюс m в квадрате минус n в квадрате = 40?$

б)  Может ли $k плюс l плюс m плюс n = 37,$ если $k в квадрате минус l в квадрате плюс m в квадрате минус n в квадрате = 37?$

в)  Пусть $k плюс l плюс m плюс n = 1400$ и $k в квадрате минус l в квадрате плюс m в квадрате минус n в квадрате = 1400.$ Найдите количество возможных различных значений k.

Решение. Перепишем выражение $k в квадрате минус l в квадрате плюс m в квадрате минус n в квадрате$ в виде

а)  Если взять $k минус l = m минус n = 2$ и $k плюс l плюс m плюс n = 20,$ то получим

$левая круглая скобка k минус l правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка = 2 левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка = 2 левая круглая скобка k плюс l плюс m плюс n правая круглая скобка = 2 умножить на 20 = 40.$ $левая круглая скобка k минус l правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка = 2 левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка =$
$= 2 левая круглая скобка k плюс l плюс m плюс n правая круглая скобка = 2 умножить на 20 = 40.$ $левая круглая скобка k минус l правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка =$
$= 2 левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка =$
$= 2 левая круглая скобка k плюс l плюс m плюс n правая круглая скобка = 2 умножить на 20 = 40.$

Например подойдут числа k  =  9, l  =  7, m  =  3, n  =  1.

б)  Имеем:

$37 = левая круглая скобка k минус l правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка больше или равно 1 умножить на левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс 1 умножить на левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка = k плюс l плюс m плюс n = 37,$ $37 = левая круглая скобка k минус l правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка больше или равно 1 умножить на левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс 1 умножить на левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка =$
$= k плюс l плюс m плюс n = 37,$ $37 =$
$= левая круглая скобка k минус l правая круглая скобка левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка больше или равно 1 умножить на левая круглая скобка k плюс l правая круглая скобка плюс 1 умножить на левая круглая скобка m плюс n правая круглая скобка =$
$= k плюс l плюс m плюс n = 37,$

причем равенство возможно только если $k минус l = m минус n = 1.$ Но тогда

$37 = k плюс l плюс m плюс n = l плюс 1 плюс l плюс n плюс 1 плюс n = 2n плюс 2l плюс 2$

должно быть четным числом. Противоречие.

в)  Как и в предыдущем пункте получаем, что $k минус l = m минус n = 1$ и

$1400 = k плюс l плюс m плюс n = l плюс 1 плюс l плюс n плюс 1 плюс n = 2n плюс 2l плюс 2,$

откуда $n плюс l = 699.$ Выберем произвольные такие n и l, чтобы $n меньше l,$ кроме пары n  =  349, l  =  350, потому что для нее получим $m = n плюс 1 = 350 = l.$

Значит, есть 348 вариантов выбора n  — от 1 до 348  — и каждый из них дает один вариант выбора остальных неизвестных.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  348.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  348.

672515

а)  да, б)  нет, в)  348.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 483

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	672515	а)  да, б)  нет, в)  348.