Тип 19 № 672008 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Даны натуральные числа 1, 2, 3, ..., 2025. Из этих чисел выбрали несколько так, что для любых двух выбранных чисел a и b, где 
выполняется неравенство 
а) Может ли количество выбранных чисел равняться 4?
б) Может ли количество выбранных чисел равняться 1200?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть выбрано?
Решение. а) Да. Например, для простых чисел 7, 11, 13, 17 любая разность не меньше двух, а любой НОД равен одному.
б) Нет. Разобьем числа на пары (1, 2), (3, 4), ..., (2023, 2024) и допишем число 2025. Числа из каждой пары имеют разность 1 и НОД, равный одному: если a и a + 1 кратны d, то и их разность, равная 1, кратна d, поэтому d = 1. Значит, из каждой пары можно взять не более одного числа. Поэтому всего выбрано не более 
чисел.
в) В предыдущем пункте было доказано, что выбрать больше 1013 чисел нельзя. Если взять все нечетные числа в этом диапазоне, а их как раз 1013, то получится, что НОД любых двух нечетен, а разность четна, поэтому условие задачи выполнено.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1013.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 1013.
672008
а) да; б) нет; в) 1013.
PDF-версии: