Тип 17 № 672006 
Планиметрическая задача. Четырехугольники и их свойства
i
Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Биссектрисы углов LKN и LMN пересекаются в точке О. Точки А и В отмечены на боковых сторонах KL и MN соответственно. Известно, что AK = AO и BM = BO.
а) Докажите, что точки A, O и B лежат на одной прямой.
б) Найдите AK : AL, если известно, что KO = OM и LM : KN = 7 : 17.
Решение. а) Пусть 
тогда 
как углы равнобокой трапеции при общем основании, значит, 
(см. рис. 1). Треугольник BMO равнобедренный по признаку, откуда
тогда параллельны прямые BO и LM.
Аналогично 
параллельны прямые AO и KN. Отрезки AO и BO параллельны одной и той же прямой, поэтому точки A, O и B лежат на одной прямой.
Рис. 1
Рис. 2
б) Трапеция ALMB равнобокая, поэтому MB = AL, AK = BN. Пусть LM = 7x, KN = 17x, AK = ax, AL = bx. Тогда
Продлим биссектрисы AO и MO до пересечения с основаниями трапеции в точках P и Q соответственно (см. рис. 2). Значит, треугольники KLP и MNQ — равнобедренные по признаку, откуда 
Далее, из подобия пар треугольников PMO и KQO и MOB и MQN следует, что
и
Заметим, что 
то есть
Из (2) получаем, что 
Из (1) и (3) получаем:
откуда 
(отрицательный корень не подходит). Значит, 
Ответ: б) 2 : 3.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 2 : 3.
PDF-версии: